Cho đường tròn tâm O và cung AB không đi qua tâm, điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Từ M kẻ MH vuông góc với AB (\(H\in AB\)). Từ H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D và cắt (O) tại N. CMR:
a, Các điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
b, MN là đường kính của (O)
c, Tìm vị trí của M trên cung lớn AB để: AH.AD = BD.BH
a, - Xét tứ giác MEHF có :
\(\widehat{MEH}+\widehat{MEH}=90^o+90^o=180^o\)
=> Tứ giác MEHF nội tiếp .
=> Các điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn .
b, - Gọi giao điểm của MN và EF tại I và giao điểm của MN và HF tại K .
- Xét tứ giác MEHF nội tiếp :
=> \(\widehat{AMH}=\widehat{EFH}\) ( = 1/2 SđEH ) ( I )
Ta có : \(\widehat{EFH}+\widehat{MKF}=90^o\left(EF\perp MN\right)\)
Mà \(\widehat{MKF}+\widehat{NMB}=90^o\left(HF\perp MB\right)\)
=> \(\widehat{EFH}=\widehat{NMB}\) ( II )
- Từ ( I ) và ( II ) => \(\widehat{AMH}=\widehat{NMB}\)
=> \(\widehat{AMN}=\widehat{HMB}\)
Mà \(\widehat{ANM}=\widehat{ABM}\) ( = 1/2 Sđ AM )
Lại có : \(\widehat{HMB}+\widehat{HBM}=90^o\)
=> \(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^o\)
=> \(\widehat{MAN}=90^o\)
=> MN là đường kính ( cung chắn nửa .... )
c, - Để \(AH.AD=BD.BH\)
<=> AH.( AH + HD ) = BD.( BD + HD )
<=> AH2 + AH.HD = BD2 + BD.HD
<=> \(AH^2-BD^2+AH.HD-BD.HD=0\)
<=> \(\left(AH-BD\right)\left(AH+BD\right)+HD\left(AH-BD\right)=0\)
<=> \(\left(AH-BD\right)\left(AH+BD+HD\right)=0\)
Mà AH + BD + HD > 0 ( hiển nhiên )
<=> \(AH=BD\)
Lấy G là điểm chính giữa HD .
=> HG = DG .
<=> AG = BG
<=> G là điểm chính giữa của AB và HD .
<=> G là điểm chính giữa của cung AB .
