Bài 6: Cung chứa góc

Bánh Mì

Cho đường tròn tâm O và cung AB không đi qua tâm, điểm M di chuyển trên cung lớn AB. Từ M kẻ MH vuông góc với AB (\(H\in AB\)). Từ H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với MA, MB tại E và F. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với EF cắt AB tại D và cắt (O) tại N. CMR:

a, Các điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn

b, MN là đường kính của (O)

c, Tìm vị trí của M trên cung lớn AB để: AH.AD = BD.BH

Nguyễn Ngọc Lộc
7 tháng 6 2020 lúc 8:46

a, - Xét tứ giác MEHF có :

\(\widehat{MEH}+\widehat{MEH}=90^o+90^o=180^o\)

=> Tứ giác MEHF nội tiếp .

=> Các điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn .

b, - Gọi giao điểm của MN và EF tại I và giao điểm của MN và HF tại K .

- Xét tứ giác MEHF nội tiếp :

=> \(\widehat{AMH}=\widehat{EFH}\) ( = 1/2 SđEH ) ( I )

Ta có : \(\widehat{EFH}+\widehat{MKF}=90^o\left(EF\perp MN\right)\)

\(\widehat{MKF}+\widehat{NMB}=90^o\left(HF\perp MB\right)\)

=> \(\widehat{EFH}=\widehat{NMB}\) ( II )

- Từ ( I ) và ( II ) => \(\widehat{AMH}=\widehat{NMB}\)

=> \(\widehat{AMN}=\widehat{HMB}\)

\(\widehat{ANM}=\widehat{ABM}\) ( = 1/2 Sđ AM )

Lại có : \(\widehat{HMB}+\widehat{HBM}=90^o\)

=> \(\widehat{AMN}+\widehat{ANM}=90^o\)

=> \(\widehat{MAN}=90^o\)

=> MN là đường kính ( cung chắn nửa .... )

c, - Để \(AH.AD=BD.BH\)

<=> AH.( AH + HD ) = BD.( BD + HD )

<=> AH2 + AH.HD = BD2 + BD.HD

<=> \(AH^2-BD^2+AH.HD-BD.HD=0\)

<=> \(\left(AH-BD\right)\left(AH+BD\right)+HD\left(AH-BD\right)=0\)

<=> \(\left(AH-BD\right)\left(AH+BD+HD\right)=0\)

Mà AH + BD + HD > 0 ( hiển nhiên )

<=> \(AH=BD\)

Lấy G là điểm chính giữa HD .

=> HG = DG .

<=> AG = BG

<=> G là điểm chính giữa của AB và HD .

<=> G là điểm chính giữa của cung AB .

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
nhannhan
Xem chi tiết
Quỳnh Hoa
Xem chi tiết
Ngô Thanh Tuệ Trân
Xem chi tiết
Nghia Nguyen
Xem chi tiết
Doan Duc
Xem chi tiết
Sonyeondan Bangtan
Xem chi tiết
Bánh Mì
Xem chi tiết
Trần Văn Sáng
Xem chi tiết
Hồng Chan
Xem chi tiết