Cho đường tròn tâm O đường kính AB.Trên đường tròn lấy điểm C sao cho AC<BC ( C≠A). Tiếp tuyến Bx của đường tròn (O) cắt đường trung trực của BC tại D. Gọi F là giao điểm của DO và BC.
A) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
B) Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O) ( với E≠A). Chứng minh DE.DA=DC2=DF.DO
C) Gọi H là hình chiếu của C trên AB,I là giao điểm của AD và CH. Chứng minh I là trung điểm của CH
P/s:Mn giúp em với ạ!!!Có thể chỉ hướng làm thôi cũng được ạ.Em cảm ơn nhiều ạ
Lời giải:
a)
$BD$ là tiếp tuyến của $(O)$ \(\Rightarrow BD\perp OB\Rightarrow \widehat{DBO}=90^0\)
Vì $D$ nằm trên đường trung trực của $BC$ nên $DC=DB$
Xét tam giác $DCO$ và $DBO$ có:
\(\left\{\begin{matrix} DC=DB\\ \text{DO chung}\\ OB=OC=R\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle DCO=\triangle DBO(c.c.c)\)
\(\Rightarrow \widehat{DCO}=\widehat{DBO}=90^0\)
\(\Rightarrow DC\perp OC\Rightarrow DC\) là tiếp tuyến $(O)$
b) Dễ thấy $DO$ chính là đường trung trực của $BC$ nên $DO\perp BC$ tại $F$
Xét tam giác $DFC$ và $DCO$ có:
\(\widehat{DCO}=\widehat{DFC}=90^0\)
\(\widehat{D}\) chung
\(\Rightarrow \triangle DFC\sim \triangle DCO\Rightarrow \frac{DC}{DO}=\frac{DF}{DC}\Rightarrow DC^2=DO.DF(1)\)
Xét tam giác $DEC$ và $DCA$ có:
\(\widehat{D}\) chung
\(\widehat{DCE}=\widehat{DAC}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến $DC$ và dây cung $CE$ thì bằng góc nội tiếp chắn bởi dây cung $CE$)
\(\Rightarrow \triangle DEC\sim \triangle DCA\Rightarrow \frac{DC}{DA}=\frac{DE}{DC}\Rightarrow DC^2=DA.DE(2)\)
Từ (1);(2) suy ra \(DE.DA=DC^2=DF.DO\)
Ta có đpcm
c)
Vì \(CH\perp AB; BD\perp AB\Rightarrow CH\parallel BD\)
\(\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{CBD}\) (so le trong). Mà \(\widehat{CBD}=\widehat{BCD}\) (do tam giac $DCB$ cân tại $D$)
\(\Rightarrow \widehat{HCB}=\widehat{BCD}\) hay $CB$ là tia phân giác trong của \(\widehat{DCH}\)
Mà $CB\perp CA$ (dễ thấy) nên $CA$ là tia phân giác ngoài đỉnh $C$
Theo tính chất tia phân giác:
\(\frac{AI}{AD}=\frac{CI}{CD}\)
Theo định lý Ta-let (với TH $IH\parallel BD$): \(\frac{AI}{AD}=\frac{IH}{BD}\)
Do đó: \(\frac{CI}{CD}=\frac{HI}{BD}\). Mà $CD=BD$ nên $CI=HI$ hay $I$ là trung điểm của $CH$ (đpcm)
