cho đường tròn tâm O đường kính AB= 6 cm ; trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyên , Ax, By. Lấy điểm M thuộc đường tròn tâm O , sao cho BM= 3cm ; ( M nằm cùng phía với Ax, By) . Tiếp tuyến M cắt Ax, By lần lượt ở P và Q.
a, chứng minh AP+BQ = PQ và AM vuông góc với BM
b, tia AM cắt By tại E. Tính EM*EA
c, Gọi I là giao điểm của AQ và BP , tia MI cắt AB tại N . chứng minh I là trung điểm của MN
a: Xét (O) có
PA,PM là các tiếp tuyến
nen PA=PM và OP là phân giác của góc MOA(1)
Xét (O) có
QM.QB là các tiếp tuyến
nên QM=QB và OQ là phân giác của góc MOB(2)
AP+BQ=PM+MQ=PQ
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>MA vuông góc với MB
b:
\(AM=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}\left(cm\right)\)
EM=MB^2/AM\(=\dfrac{3^2}{3\sqrt{3}}=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
Xét ΔBAE vuôngtại B có BM là đường cao
nên \(EM\cdot EA=EB^2\)
=>\(EB^2=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}+3\sqrt{3}\right)=\sqrt{3}\cdot4\sqrt{3}=12\left(cm^2\right)\)
=>\(EM\cdot EA=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
