Cho đường tròn tâm O, A là điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AM và AN, đường kính MP và cát tuyến AIQ với đường tròn (M, N là tiếp điểm; I và Q thuộc đường tròn; I nằm giữa A và Q; tia AQ nằm giữa AP và AO). PI, PQ cắt đường thẳng AO lần lượt tại E và F. Chứng minh:
a. Tứ giác MANO và tứ giác NIEA nội tiếp
b. OE = OF
Cho đường thẳng tâm O và điểm m ở ngoài đường tròn Qua M kẻ các tiếp tuyến MA MB và cát tuyến MPQ (MP<MQ) Gọi I là giao điểm của dây PQ. E là giao điểm thứ hai giữa đường thẳng và đường tròn tâm O. Chứng minh:
a) Tứ giác BOIM nội tiếp
b) góc BOM= góc BEA
c) Ba điểm O, I, K thẳng hàng với K là trung điểm của EA
Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R) vẽ hai tiếp tuyến MA và MB đến (O)( A,B là hai tiếp điểm). Gọi MCD là cát tuyến của (O) (C nằm giữa M và D; tia MD nằm trong ∠OMB). Vẽ OE vuông góc với CD tại E.
Chứng minh: tứ giác MAEB nội tiếp đường tròn tâm I, xác định tâm I của đường tròn này.
Cho 1 điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; 6cm). Kẻ hai tiếp tuyến MN, MP (N, P là hai tiếp điểm) của đường tròn (O). Vẽ cát tuyến MAB của đường trong (O) sao cho đoạn thẳng AB=6cm với A, B thuộc đường tròn (O), A nằm giữa M và B.
a) Chứng minh tứ giác OPMN là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là trung điểm đoạn thẳng AB. So sánh góc MON và góc MHN
c) Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung nhỏ AB và dây AB của hình tròn tâm (O)
cho đường tròn tâm O từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ tiếp tuyến AB,AC . Kẻ cát tuyến AED ko đi qua tâm ( E nằm giữa D và A). Gọi I là trung điểm của DE .OA cắt BC tại H, BI cắt đường tròn tại M chứng minh
a) Tứ giác ABIO nội tiếp
b)AH.AO = AE.AD
c)CM song song ED
d)góc HÉC bằng góc BED
Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Vẽ tiếp tuyến Bx với nửa đường tròn, C và D là 2 điểm di động trên nửa đường tròn, các tia AC và AD cắt tia Bx lần lượt tại E và F ( F nằm giữa B và E). Chứng Minh:
a) ΔABF~ΔBDF
b) Tứ giác CEFD nội tiếp được đường tròn
c) Khi C và D thay đổi trên nửa đường tròn thì tích AC.AE =AD.AF không đổi
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B,C là các tiếp điểm)
a) Chứng minh: 4 điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b) Kẻ cát tuyến ADE nằm giữa AO và AB (D nằm giữa A và E), kẻ các tiếp tuyến tại D và E cắt nhau tại S. Nối BC cắt OA tại H. Chứng minh: R^2=OH.OA và 3 điểm S, B,C thẳng hàng
Từ 1 điểm S ở ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến SB, SC ( B, C là tiếp điểm ). Vẽ tia Sx nằm giữa SO và SC cắt đường tròn (O) tại E, F ( E nằm giữa S và F) a) Chứng minh: SC2 = SE.SF b) Gọi I là trung điểm dây EF. Chứng minh tứ giác BCIO nội tiếp trong đường tròn. c) Qua B kẻ dây BA // EF. Chứng minh : A, I, C thẳng hàng
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), (B, C là tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với AO, cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai E. Chứng minh 3 điểm C, O, E thẳng hàng
c) Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng AO với đường tròn (O), chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d) Trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) lấy điểm M tùy ý. Kẻ MR vuông góc với BC, MS vuông góc với CA, MT vuông góc với AB. Chứng minh: MS.MT = MR2
Từ điểm A cố định nằm ngoài đường tròn (O;R), dựng các tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE với đường tròn (B,C thuộc (O), D nằm giữa A và E). Gọi I là trung điểm của DE, H là giao điểm của AO và BC.
Qua I kẻ đường thẳng song song với BE, cắt BC tại M. Chứng minh rằng DM vuông góc với BO
