Question

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA,MB đến (O) (A,B là tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MNP (MN<MP) đến (O). Gọi K là trung điểm của NP.
a) CMR: Các điểm M,A,K,O,B cùng thuộc một đường tròn.
b) CM: Tia KM là phân giác của góc AKB.
c) Gọi Q là giao điểm thứ hai chạy đoạn thẳng BK với đường tròn (O). CM: AQ//NP.
d) Gọi H là giao điểm của AB và MO. CMR: MA²=MH.MO=MN.MP

e) CMR 4 điểm N,H,O,P cùng thuộc một đường tròn

Answer 1

1)

Vì MA,MB là tiếp tuyến của (O)nên MA⊥OA,MB⊥OB

⇒MAOˆ=MBOˆ=90

⇒MAOˆ+MBOˆ=180⁰

Do đó tứ giác MAOBnội tiếp (1)

Mặt khác: KK là trung điểm NP, tam giác NOPcân tại O do ON=OP nên trung tuyến OKđồng thời cũng là đường cao

⇒OK⊥NP⇒MKOˆ=90⁰

⇒MKOˆ+MBOˆ=90⁰+90⁰=180⁰

Do đó tứ giác MKOBnội tiếp (2)

Từ (1); (2) suy ra M,A,K,O,B cùng thuộc một đường tròn

b)

Từ MKOB nội tiếp suy ra MKBˆ=MOBˆ (cùng chắn cung MB)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì OMư là phân giác góc AOBˆ

⇒MKBˆ=MOBˆ=12AOBˆ=12cung AB

M,A,K,Onội tiếp (cùng thuộc một đường tròn theo phần a)

⇒AKMˆ=ABMˆ=12cung AB (do MBMB là tiếp tuyến)

Do đó MKBˆ=AKMˆ nên KM là phân giác AKBˆ