Question

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là các tiếp điểm). Qua M kẻ cát tuyến MDE tới đường tròn ( A,B,D,E, thuộc đường tròn) MO cắt AB tại H. CMR: MD.ME=MH.MO

Answer 1

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\perp\)AB tại H

Xét ΔMAO vuông tại A có AH là đường cao

nên \(MH\cdot MO=MA^2\left(3\right)\)

Xét (O) có

\(\widehat{MAD}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AD

\(\widehat{AED}\) là góc nội tiếp chắn cung AD

Do đó: \(\widehat{MAD}=\widehat{AED}=\widehat{MEA}\)

Xét ΔMAD và ΔMEA có

\(\widehat{MAD}=\widehat{MEA}\)

\(\widehat{AMD}\) chung

Do đó: ΔMAD~ΔMEA

=>\(\dfrac{MA}{ME}=\dfrac{MD}{MA}\)

=>\(MA^2=MD\cdot ME\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(MH\cdot MO=MD\cdot ME\)