Question

Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài (O). Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến (O) (A; B là tiếp điểm). Qua m kẻ cát tuyến MNP (MN<MP) đến (O). Gọi K là trung điểm của NP.

1) CMR: các điểm M, A, K, O, B cùng thuộc 1 đường tròn

2) Chứng minh ti KM là phân giác của góc AKB

Answer 1

Lời giải:

1)

Vì $MA,MB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên \(MA\perp OA, MB\perp OB\)

\(\Rightarrow \widehat{MAO}=\widehat{MBO}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{MAO}+\widehat{MBO}=180^0\)

Do đó tứ giác $MAOB$ nội tiếp (1)

Mặt khác: $K$ là trung điểm $NP$, tam giác $NOP$ cân tại $O$ do \(ON=OP\) nên trung tuyến $OK$ đồng thời cũng là đường cao

\(\Rightarrow OK\perp NP\Rightarrow \widehat{MKO}=90^0\)

\(\Rightarrow \widehat{MKO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0\)

Do đó tứ giác $MKOB$ nội tiếp (2)

Từ (1); (2) suy ra \(M,A,K,O,B\) cùng thuộc một đường tròn

b)

Từ $MKOB$ nội tiếp suy ra \(\widehat{MKB}=\widehat{MOB}\) (cùng chắn cung $MB$)

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau thì $OMư$ là phân giác góc \(\widehat{AOB}\)

\(\Rightarrow \widehat{MKB}=\widehat{MOB}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}=\frac{1}{2}\text{cung AB}\)

$M,A,K,O$ nội tiếp (cùng thuộc một đường tròn theo phần a)

\(\Rightarrow \widehat{AKM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}\text{cung AB}\) (do $MB$ là tiếp tuyến)

Do đó \(\widehat{MKB}=\widehat{AKM}\) nên $KM$ là phân giác $\widehat{AKB}$