Question

Cho đường tròn O, đường kính AB=2R. Gọi M là 1 điểm thuộc đường tròn sao cho BM=R. Trên tia đối của tia BA xác định điểm C sao cho BC cũng bằng R. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AM tại D

a) Chứng minh 3 điểm O,C,M cùng thuộc 1 đường tròn

b) Chứng minh AM.AD=6R^2

c) Tính AD theo R

Answer 1

Câu a : Ta có :

\(\widehat{AOM}=\widehat{MBC}=120^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AMO}=\widehat{BMC}\)

Mà \(\widehat{AMB}=90^0\Rightarrow\widehat{OMC}=90^0\) hay \(\Delta MOC\) vuông tại M .

Mặc khác B là trung điểm AC nên B là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OMC\) hay O,M,C cùng thuộc một đường tròn tâm B .

Câu b : Ta có : \(\Delta AMB\sim\Delta ACD\)

\(\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{AB}{AD}\Rightarrow AM.AD=AB.AC=2R.\left(2R+R\right)=6R^2\)

Câu c : \(AD=\frac{6R^2}{AM}=\frac{6R^2}{\sqrt{AB^2-BM^2}}=\frac{6R^2}{\sqrt{3R^2}}=\frac{6R}{\sqrt{3}}\)