Question

cho đt (d) y=(m\(-\)2) x \(+\)m\(+\)3 . tìm m để khoảng cách từ điểm N(1;3) đến đt (d) là lớn nhất

Answer 1

Phương trình d: \(\left(x+1\right)m-\left(2x+y-3\right)=0\)

\(\Rightarrow\) d luôn đi qua điểm cố định A có tọa độ thỏa mãn:

\(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\2x+y-3=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=5\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(-1;5\right)\)

Gọi H là hình chiếu của N lên d, theo định lý đường xiên - đường vuông góc ta luôn có \(NH\le AN\Rightarrow NH_{max}=AN\) khi H trùng N hay d vuông góc AN

\(\overrightarrow{AN}=\left(2;-2\right)=2\left(1;-1\right)\)

Đường thẳng d có 1 vtpt là \(\left(m-2;-1\right)\Rightarrow\) có 1 vtcp là \(\left(1;m-2\right)\)

\(AN\perp d\Leftrightarrow1.1-1\left(m-2\right)=0\Rightarrow m=3\)