a,Xét ΔAIC và ΔBCK có :
AICˆ=BCKˆ(cùng phụ với ICA^ )
IAC^=CBK^ (=90)
Do đó ΔAIC∞ΔBCK (g-g)
suy raAIAC=CBBK
suy ra đpcm
b,
Ta có ICPˆ=90 (góc nt chắn nửa đường tròn )
suy ra tứ giác CPKB nội tiếp 1 đường tròn
suy raCPB^ =CKB^ (góc nt cùng chắn cung CD)
mà CKB^=ICA^ (do 2 tam giác đồng dạng ở câu a)
Nên CPB^=ICA^
Ta có APBˆ=APCˆ+CPBˆ=APCˆ+ICAˆ=12(sđAI+sđAC)
Mà AOIˆ=sđAI;AOCˆ=sđAC
suy ra 12(sđAI+sđAC)=12(AOIˆ+AOCˆ)=12.180=90
Do đó APB^=90
suy ra tam giác ABP vông tại P
c,S ABKI=AB(KB+AI)2
Mà AB,AI cố định nên để S ABKI lớn nhất buộc BK lớn nhất
Ta có ΔAIC∞ΔBCK (câu a)
⇒BKBC=ACAI
⇒BK=AC.BCAI≤(AC+BC)24AI=AB24AI
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi AC=BC
suy ra C là trung điểm của AB
khác A). Đường thẳng qua I vuông góc với AB cắt (O) tại C và D. Trên tia đối của tia BA lấy điểm S cố định. Đoạn CS cắt (O) tại M, gọi E là giao điểm của DM và AB.