Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Quả A vẽ hai đường tiếp tuyến AB, AC với (O) (B,C là các tiếp điểm). a) Chứng minh các điểm A,B,C,O cùng thuộc một đường tròn, tìm tâm của đường tròn đó. b) Vẽ đường kính BE của (O), AE cắt (O) tại F (F khác E). Chứng minh OA vuông góc với BC tại M rồi từ đó suy ra OB²=OM.OA c) Gọi G là trung điểm của EF,OG cắt BC tại H. Chứng minh OM.OA=OG.OH d) Chứng minh EH là tiếp tuyến của đường tròn (O)
a: Xét tứ giác ABOC có
\(\widehat{OBA}+\widehat{OCA}=90^0+90^0=180^0\)
=>ABOC là tứ giác nội tiếp
=>A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn
b: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại M và M là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BM là đường cao
nên \(OM\cdot OA=OB^2\)
c: Ta có: ΔOEF cân tại O
mà OG là đường trung tuyến
nên OG\(\perp\)EF
Xét ΔOGA vuông tại G và ΔOMH vuông tại M có
góc GOA chung
Do đó: ΔOGA đồng dạng với ΔOMH
=>OG/OM=OA/OH
=>\(OM\cdot OA=OG\cdot OH\)
d: Ta có: \(OM\cdot OA=OG\cdot OH\)
\(OM\cdot OA=OB^2\)
OB=OE
Do đó: \(OE^2=OG\cdot OH\)
=>\(\dfrac{OE}{OG}=\dfrac{OH}{OE}\)
Xét ΔOEH và ΔOGE có
\(\dfrac{OE}{OG}=\dfrac{OH}{OE}\)
\(\widehat{EOH}\) chung
Do đó: ΔOEH đồng dạng với ΔOGE
=>\(\widehat{OEH}=\widehat{OGE}\)
=>\(\widehat{OEH}=90^0\)
=>HE là tiếp tuyến của (O)
