Question

Cho \(\Delta\)ABC nhọn, D là hình chiếu của B trên AC; E là hình chiếu của C trên AB; H là trực tâm \(\Delta\)ABC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB; qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC; chúng cắt nhau tại K. Gọi HK cắt BC tại M. CMR:

a) AM là trung tuyến \(\Delta\)ABC

b) AB.AE = AC.AD

c) BH.BD + CH.CE = BC²

Answer 1

Kẻ đường cao thứ 3 AF (qua H)

Hai tam giác vuông BHF và BCD đồng dạng (chung góc B nhỏ)

\(\Rightarrow\frac{BH}{BC}=\frac{BF}{BD}\Rightarrow BH.BD=BF.BC\) (1)

Tương tự 2 tam giác CHF và CBE đồng dạng

\(\Rightarrow\frac{CF}{CE}=\frac{CH}{BC}\Rightarrow CH.CE=CF.BC\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2) sẽ có đpcm