Cho \(\Delta\)\(ABC\) có \(\widehat{A}\)\(=90^0\), đường cao AH (H \(\in\) BC), biết BH = 4cm, CH = 9cm. Kẻ HD \(\bot\) AB, HE \(\bot \) AC (D \(\in\) AB, E \(\in\) AC).
b) Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E lần lượt cắt BC tại M và N. Chứng minh M là trung điểm của BH và N là trung điểm của CH.
c) tính diện tích của tứ giác DEMN.
a: Xét tứ giác ADHE có \(\hat{ADH}=\hat{AEH}=\hat{DAE}=90^0\)
nên ADHE là hình chữ nhật
b: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\hat{EDH}=\hat{EAH}\)
mà \(\hat{EAH}=\hat{B}\left(=90^0-\hat{HAB}\right)\)
nên \(\hat{EDH}=\hat{B}\)
Ta có: ADHE là hình chữ nhật
=>\(\hat{DEH}=\hat{DAH}\)
mà \(\hat{DAH}=\hat{C}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{DEH}=\hat{C}\)
Ta có: \(\hat{EDH}+\hat{MDH}=\hat{MDE}\)
=>\(\hat{MDH}+\hat{B}=90^0\)
mà \(\hat{B}+\hat{MHD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)
nên \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\)
=>MD=MH
Ta có: \(\hat{MDH}+\hat{MDB}=\hat{HDB}=90^0\)
\(\hat{MHD}+\hat{MBD}=90^0\) (ΔHDB vuông tại D)
mà \(\hat{MDH}=\hat{MHD}\) (ΔMDH cân tại M)
nên \(\hat{MDB}=\hat{MBD}\)
=>MD=MB
mà MD=MH
nên MB=MH
=>M là trung điểm của BH
Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)
\(\hat{NEH}+\hat{DEH}=\hat{NED}=90^0\)
Do đó: \(\hat{NEC}=\hat{DEH}\)
mà \(\hat{DEH}=\hat{DAH}=\hat{HAB}\) (ADHE là hình chữ nhật)
và \(\hat{HAB}=\hat{NCE}\left(=90^0-\hat{ABC}\right)\)
nên \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)
=>NE=NC
Ta có: \(\hat{NEH}+\hat{NEC}=\hat{CEH}=90^0\)
\(\hat{NCE}+\hat{NHE}=90^0\) (ΔCEH vuông tại E)
mà \(\hat{NEC}=\hat{NCE}\)
nên \(\hat{NEH}=\hat{NHE}\)
=>ΔNEH cân tại N
=>NE=NH
mà NE=NC
nên NH=NC
=>N là trung điểm của HC
c: Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH^2=HB\cdot HC=4\cdot9=36\)
=>AH=6(cm)
Diện tích hình thang DMNE là:
\(S_{DMNE}=\frac12\cdot\left(DM+NE\right)\cdot DE=\frac12\cdot AH\cdot\left(\frac12BH+\frac12CH\right)\)
\(=\frac14\cdot AH\cdot\left(BH+CH\right)=\frac14\cdot6\cdot\left(4+9\right)=\frac32\cdot13=\frac{39}{2}\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
