Question

cho \(\Delta\)ABC có góc A vuông, AB = AC. Trên các cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = AD. Từ A và D kẻ đường vuông góc với BE cắt BC tại M và N. Tia ND cắt CA ở I . C/m:
a. \(\Delta\)AID = \(\Delta\)ABE
b. A là truung điểm của CI

Answer 1

Chứng minh :
a)Gọi giao điểm của DN và BE là H
Xét △DHB có:
\(\widehat{D2}+\widehat{DBH}+\widehat{DHB}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
=>\(\widehat{D2}+\widehat{DBH}=180^o-90^o\)
=>\(\widehat{D2}+\widehat{DBH}=90^o\) \(\left(1\right)\)
Xét △ABE có :
\(\widehat{DBH}+\widehat{E1}+\widehat{BAE}=180^o\left(\text{đ/l tổng 3 góc của 1 t/g}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{DBH}+\widehat{E1}=180^o-90^o\)
\(\Rightarrow\widehat{DBH}+\widehat{E1}=90^o\) \(\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) ⇒ \(\widehat{D2}=\widehat{E1}\)
Mà \(\widehat{D2}=\widehat{D1}\left(\text{đối đỉnh}\right)\)
⇒ \(\widehat{E1}=\widehat{D1}\)
Xét △AID vuông tại A và △ABE vuông tại A có:
AD = AE ( gt )
\(\widehat{E1}=\widehat{D1}\) ( cmt )
⇒ △AID = △ABE ( cgv - gnk )
b) Có △AID = △ABE ( cmt )
⇒ AI = AB ( tương ứng )
Mà AB = AC ( gt )
⇒ AI = AC ( 3 )
Ta có tia ND cắt CA tại I ( gt )⇒ CA trùng AI (4)
Từ (3) và (4) ⇒ A là trung điểm của CI