Bài 3: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác bất đẳng thức tam giác

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Nguyệt Lam

Cho \(\Delta ABC\) vuông tại A. Đường phân giác BD. Kẻ \(DH\perp BC\) (\(H\in BC\)). Gọi K là giao điểm của BA và HD. Chứng minh:

a) \(AD=HD\)

b) \(BD\perp KC\)

c) \(\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)

d) \(2\left(AD+AK\right)>KC\)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
25 tháng 6 2020 lúc 16:22

a) Xét ΔADB vuông tại A và ΔHDB vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)(BD là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\), H∈BC)

Do đó: ΔADB=ΔHDB(cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AD=HD(hai cạnh tương ứng)

b) Ta có: ΔADB=ΔHDB(cmt)

⇒BA=BH(hai cạnh tương ứng)

Xét ΔADK vuông tại A và ΔHDC vuông tại H có

DA=DH(cmt)

\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔADK=ΔHDC(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)

⇒AK=HC(hai cạnh tương ứng)

Ta có: BA+AK=BK(A nằm giữa B và K)

BH+HC=BC(H nằm giữa B và C)

mà BA=BH(cmt)

và AK=HC(cmt)

nên BK=BC

⇒B nằm trên đường trung trực của KC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)

Ta có: ΔADK=ΔHDC(cmt)

⇒DK=DC(hai cạnh tương ứng)

⇒D nằm trên đường trung trực của KC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của KC

hay BD⊥KC(đpcm)

c) Xét ΔDKC có DK=DC(cmt)

nên ΔDKC cân tại D(định nghĩa tam giác cân)

\(\widehat{DKC}=\widehat{DCK}\)(hai góc ở đáy)

d) Ta có: AD+AK>KD(bất đẳng thức trong ΔADK)

mà KD+CD>KC(bất đẳng thức trong ΔDKC)

và KD=CD(cmt)

nên 2(AD+AK)>KC(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Ngọc Duy Anh Vũ
Xem chi tiết
Phương Hoa Hoàng
Xem chi tiết
Phương Hoa Hoàng
Xem chi tiết
Đinh Nguyễn Gia Huy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Mai Anh
Xem chi tiết
Takami Akari
Xem chi tiết
Tuyết Nguyệt Song Trân
Xem chi tiết
Doan Thi Thanh Huyen
Xem chi tiết
Xem chi tiết