Lời giải:
a)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông $ABC$ ta có:
\(AB^2+AC^2=BC^2\Rightarrow AC^2=BC^2-AB^2=25^2-15^2=400\Rightarrow AC=20\)b)
Vì \(HD\perp AB, HE\perp AC\Rightarrow \widehat{HDA}=\widehat{HEA}=90^0\)
Xét tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông là \(\widehat{HDA}, \widehat{HEA}, \widehat{DAE}\) nên $ADHE$ là hình chữ nhật.
c)
Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên \(AE=DH, AE\parallel DH\)
$F$ đối xứng với $E$ qua $A$ nên \(F,A,E\) thẳng hàng và \(AF=AE\)
Do đó: \(AF=DH, AF\parallel DH\)
Tứ giác $AFDH$ có 2 cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành (đpcm)
d)
Gọi $I$ là giao điểm $CM,HK$ và $N$ là giao điểm $AC,HK$
Xét tam giác $BAH$ và $ACH$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{BAH}=\widehat{ACH}=90^0-\widehat{HAC}\\ \widehat{BHA}=\widehat{AHC}=90^0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow \triangle BAH\sim \triangle ACH(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{BA}{BH}=\frac{CA}{AH}\Leftrightarrow \frac{BK}{2BH}=\frac{CA}{2AM}\)
\(\Rightarrow \frac{BK}{BH}=\frac{CA}{AM}\)
Xét tam giác $KBH$ và $CAM$ có:
\(\widehat{KBH}=\widehat{CAM}=90^0-\widehat{BAH}\)
\(\frac{KB}{BH}=\frac{CA}{AM}(cmt)\)
\(\Rightarrow \triangle KBH\sim \triangle CAM(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BKH}=\widehat{ACM}\) hay \(\widehat{AKN}=\widehat{ICN}\)
Xét tam giác $AKN$ và $ICN$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{AKN}=\widehat{ICN}\\ \widehat{ANK}=\widehat{INC}(\text{đối đỉnh})\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle AKN\sim \triangle ICN(g.g)\)
\(\Rightarrow \widehat{CIN}=\widehat{KAN}=90^0\Rightarrow CM\perp HK\) (đpcm)
