a)
Ta có: MA=MD(gt)
mà A,M,D thẳng hàng
nên M là trung điểm của AD
Xét tứ giác ABDC có
M là trung điểm của đường chéo BC(AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC trong ΔABC)
M là trung điểm của đường chéo AD(cmt)
Do đó: ABDC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Xét hình bình hành ABDC có \(\widehat{BAC}=90^0\)(ΔABC vuông tại A)
nên ABDC là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b) Ta có: I đối xứng với A qua BC(gt)
⇔BC là đường trung trực của AI
⇔BC⊥AI tại trung điểm của AI
mà BC⊥AH tại H(gt)
và AI, AH có điểm chung là A
nên A,H,I thẳng hàng
⇔H∈AI
mà H∈BC(gt)
nên AI\(\cap\)BC={H}
mà BC cắt AI tại trung điểm của AI(cmt)
nên H là trung điểm của AI
Xét ΔADI có
M là trung điểm của AD(cmt)
H là trung điểm của AI(cmt)
Do đó: MH là đường trung bình của ΔADI(định nghĩa đường trung bình của tam giác)
⇔MH//DI và \(MH=\frac{DI}{2}\)(định lí 2 về đường trung bình của tam giác)
Ta có: MH//DI(cmt)
mà M∈BC(gt)
vả H∈BC(gt)
nên BC//DI(đpcm)
c) Ta có: AC=DB(hai cạnh đối của hình chữ nhật ABDC)(1)
Xét ΔCAI có
CH là đường cao ứng với cạnh AI(CB⊥AI, H∈BC)
CH là đường trung tuyến ứng với cạnh AI(H là trung điểm của AI)
Do đó: ΔCAI cân tại C(định lí tam giác cân)
⇒CA=CI(2)
Từ (1) và (2) suy ra DB=CI
Xét tứ giác BIDC có DI//BC(cmt)
nên BIDC là hình thang(định nghĩa hình thang)
Xét hình thang BIDC có DB=CI(cmt)
nên BIDC là hình thang cân(dấu hiệu nhận biết hình thang cân)
