Cho ΔABC vuông tại A . AB > AC . Lấy M tùy ý trên AB .Kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại H .Đường thẳng MH cắt CA tại N.
a.C/m : BM.BA = BH.BC
b,C/m : ΔAMN ∼ ΔHMB và ΔAMH ∼ ΔNMB
c,Gọi K là giao điểm của CM và BN.C/m : AB là phân giác của \(\widehat{HAK}\)
d,C/m : BM.BA + CM.CK không đổi khi M di chuyển trên AB
a) + ΔBMH ∼ ΔBCA ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{BM}{BH}=\frac{BC}{BA}\) => BM.BA = BH.BC
b) + ΔAMN ∼ ΔHMB ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{AM}{MN}=\frac{HM}{MB}\Rightarrow\frac{AM}{HM}=\frac{MN}{MB}\)
+ ΔAMH ∼ ΔNMB ( c.g.c )
c) + Xét ΔBNC có 2 đg cao NH và BA cắt nhau tại M
=> M là trực tâm ΔBNC
=> CK ⊥ BN
+ ΔABN ∼ ΔKCN ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{AN}{BN}=\frac{KN}{CN}\) \(\Rightarrow\frac{AN}{KN}=\frac{BN}{CN}\)
+ ΔANK ∼ ΔBNC ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{NAK}=\widehat{NBC}\)
+ Tương tự ta cm đc :
ΔCAH ∼ ΔCBN ( c.g.c )
\(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{CBN}\) \(\Rightarrow\widehat{CAH}=\widehat{NAK}\)
\(\Rightarrow90^o-\widehat{CAH}=90^o-\widehat{NAK}\)
\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BAK}\)
=> AB là tia phân giác góc HAK
d) + ΔBHM ∼ ΔBAC ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{BH}{BM}=\frac{BA}{BC}\) \(\Rightarrow BM\cdot BA=BH\cdot BC\)
+ tương tự : ΔCHM ∼ ΔCKB ( g.g )
\(\Rightarrow\frac{CH}{CM}=\frac{CK}{CB}\) \(\Rightarrow CM\cdot CK=CB\cdot CH\)
Do đó : \(BM\cdot BA+CM\cdot CK=BH\cdot BC+CH\cdot BC\)
\(=BC\left(BH+CH\right)=BC^2\) ko đổi
