Question

Cho ΔABC nhọn, các đường cao BD, CE (D ∈ AC, E ∈ AB). Đường tròn đường kính AC cắt đoạn thẳng BD tại M, đường tròn đường kính AB cắt đoạn thẳng CE tại N. Chứng minh rằng AM = AN.

Answer 1

Xét M thuộc đường tròn đường kính AC

\(\Rightarrow\) \(\widehat{AMC}=90^0\) .

* Xét \(\Delta AMC\) vuông tại M có đường cao MD \(\Rightarrow\) \(AM^2=AD.AC\) (1)

* Tương tự ta cm được \(AN^2=AE.AB\) (2)

* Xét tam giác AEC và ADB có \(\left\{{}\begin{matrix}chung\widehat{BAC}\\\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=\left(90^0\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Tam giác AEC đồng dạng với tam giác ADB ( g . g)

\(\Rightarrow AE.AB=AC.AD\left(3\right)\)

* Từ 1,2,3 => \(AM^2=AN^2\Rightarrow AM=AN-ĐPCM\)