Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Ngọc Nguyễn

Cho ΔABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm D,E sao cho AD=DE=EB. Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt cạnh AC tại N. Gọi M là trung điểm của AN. a)Chứng minh rằng: Tứ giác DMCB là hình thang cân.

b)Gọi I là giao điểm của tia BN và tia DM. Chứng minh rằng MI=BC.

c)Chứng minh rằng Δ DCI cân.

d)Chứng minh rằng MI=3MD

Cần gấp ạ!!!

Nguyễn Lê Phước Thịnh
30 tháng 8 2020 lúc 20:21

a) Ta có: AD=DE(gt)

mà A,D,E thẳng hàng(gt)

nên D là trung điểm của AE

Xét ΔAEN có

D là trung điểm của AE(cmt)

M là trung điểm của AN(gt)

Do đó: DM là đường trung bình của ΔAEN(Định nghĩa đường trung bình của tam giác)

⇒DM//EN và \(DM=\frac{EN}{2}\)(Định lí 2 về đường trung bình của tam giác)

Ta có: DM//EN(cmt)

EN//BC(gt)

Do đó: DM//BC(Định lí 3 từ vuông góc tới song song)

Xét tứ giác DMCB có DM//BC(cmt)

nên DMCB là hình thang có hai đáy là DM và BC(Định nghĩa hình thang)

Hình thang DMCB(DM//BC) có \(\widehat{DBC}=\widehat{NCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

nên DMCB là hình thang cân(Định nghĩa hình thang cân)

b) Ta có: DM//BC(cmt)

⇒MI//BC(I∈DM)

\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(hai góc so le trong)

Ta có: DE=EB(gt)

mà D,E,B thẳng hàng(gt)

nên E là trung điểm của DB

Xét hình thang DMCB(DM//BC) có

E là trung điểm của DB(cmt)

EN//DM//BC(cmt)

Do đó: N là trung điểm của MC(Định lí 3 về đường trung bình của hình thang)

Xét ΔNMI và ΔNCB có

\(\widehat{IMN}=\widehat{BCN}\)(cmt)

MN=CN(N là trung điểm của MC)

\(\widehat{MNI}=\widehat{CNB}\)(hai góc đối đỉnh)

Do đó: ΔNMI=ΔNCB(g-c-g)

⇒MI=CB(hai cạnh tương ứng)

c) Xét tứ giác MICB có MI//BC(cmt) và MI=BC(cmt)

nên MICB là hình bình hành(Dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

⇒MB=CI(Hai cạnh đối của hình bình hành MICB)

mà MB=CD(hai đường chéo của hình thang cân DMCB)

nên CI=CD

Xét ΔCDI có CI=CD(cmt)

nên ΔCDI cân tại C(Định nghĩa tam giác cân)

d) Ta có: \(DM=\frac{EN}{2}\)(cmt)

nên \(EN=2\cdot DM\)(1)

Xét hình thang DMCB(DM//CB) có

E là trung điểm của DB(cmt)

N là trung điểm của MC(cmt)

Do đó: EN là đường trung bình của hình thang DMCB(Định nghĩa đường trung bình của hình thang)

\(\Leftrightarrow EN=\frac{DM+BC}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(2\cdot DM=\frac{DM+BC}{2}\)

\(\Leftrightarrow DM+BC=4\cdot DM\)

\(\Leftrightarrow BC=3\cdot DM\)

mà BC=MI(cmt)

nên \(MI=3\cdot MD\)(đpcm)


Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Tuệ Minh
Xem chi tiết
Yukina Trần
Xem chi tiết
Annie Scarlet
Xem chi tiết
Dưa Leo
Xem chi tiết
Trần Tuấn Kiệt
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hoa
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Hoa
Xem chi tiết
Kim Seok Jin
Xem chi tiết
phamthiminhanh
Xem chi tiết