Question

Cho đa thức P(x)=ax³+bx²+cx+d, biết P(0), P(1) là số nguyên lẻ. CMR: P(x) không có các nghiệm nguyên

Answer 1

Giả sử đa thức f(x) có nghiệm nguyên k. Khi đó ta có
ak³ + bk² + ck + d = 0;
hay
k(ak² + bk + c) = -d (*).
Từ giả thiết ta có
f(1) = a + b + c + d;
f(0) = d.
Vì f(0) và f(1) là các số lẻ nên d và a + b + c + d là các số lẻ; suy ra d lẻ và a + b + c chẵn. Từ giả thiết (*) suy ra k là ước của d, và vì d lẻ nên k lẻ. Từ đó ta có k³ - 1, k² - 1, k - 1 là các số chẵn suy ra a(k³ - 1) + b(k² - 1) + c(k - 1) là số chẵn, hay (ak³ + bk² + ck) - (a + b + c) là số chẵn. Nhưng vì a + b + c chẵn nên ak³ + bk² + ck chẵn, và vì giả thiết (*) nên -d chẵn, hay d chẵn. Điều này trái giả thiết vì d lẻ.
Vậy, với các điều kiện đã cho thì f(x) không có nghiệm nguyên.