Question

Cho đa thức: f(x)=ax²+bx+2018 có các hệ số a, b là các số hữu tỉ và f(1+\(\sqrt{2}\))=2019. Tìm a, b.

Answer 1

\(f\left(1+\sqrt{2}\right)=2019\Rightarrow a\left(1+\sqrt{2}\right)^2+b\left(1+\sqrt{2}\right)+2018=2019\)

\(\Leftrightarrow a\left(3+2\sqrt{2}\right)+b\left(1+\sqrt{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow3a+2a\sqrt{2}+b+b\sqrt{2}=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2a+b\right)\sqrt{2}=1-3a-b\)

Do vế phải là số hữu tỉ nên vế trái hữu tỉ, mà \(\sqrt{2}\) vô tỉ nên vế phải hữu tỉ khi và chỉ khi \(2a+b=0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\1-3a-b=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+b=0\\3a+b=1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=-2\end{matrix}\right.\)