Cho Δ ABC vuông tại A (AB>AC) có AD là đường trung tuyến. E là trung điểm AC, F là đối xứng của A qua D. G là điểm đối xứng của B qua E.
1. Chứng minh: DE vuông góc AC.
2. Chứng minh tứ giác ABFC là hình chữ nhật.
3. Chứng minh C là trung điểm FG.
4. Đường thẳng qua C song song với AD cắt DE tại H. Chứng minh ADCH là hình thoi.
1) Xét \(\Delta ABC\) có :
CE = AE ; CD = DB
=> ED là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
=> ED // AB
mà CA \(\perp\) AB
=> ED \(\perp\) CA
2) Có : AD = DF ; BD = DC
=> Tứ giác ABFC là hình bình hành
mà \(\widehat{BAC}=90^o\)
=> Tứ giác ABFC là hình chữ nhật
3) Có : DE là đường trung bình của \(\Delta ABC\)
=> DE = 1/2 CF (1)
Xét \(\Delta BCG\) có :
BD = DC ; BE = EG
=> DE là đường trung bình của \(\Delta BCG\)
=> DE = 1/2 CG (2)
Từ (1) và (2) => FC = CG
=> C là trung điểm của FG
4) Có : CH // AD
=> \(\widehat{HCA}=\widehat{DAC}\left(slt\right)\)
mà \(\widehat{DAC}=\widehat{DCA}\)
=> \(\widehat{HCA}=\widehat{DCA}\)
=> \(\Delta HCD\) cân tại C
=> HC = CD = AD
=> Tứ giác AHCD là hình thoi
