Question

Cho các số \(x\) và \(y\) có dạng :

\(x=a_1\sqrt{2}+b_1\) và \(y=a_2\sqrt{2}+b_2\)

trong đó \(a_1,a_2,b_1,b_2\) là các số hữu tỉ. Chứng minh 

a) \(x+y\) và \(x.y\) cũng có dạng \(a\sqrt{2}+b\) với a và b là số hữu tỉ

b) \(\dfrac{x}{y}\) với \(y\ne0\) cũng có dạng \(a\sqrt{2}+b\) với a và b là số hữu tỉ

Answer 1

a)ta có :x+y=a₁\(\sqrt{2}\)+b₁+a₂\(\sqrt{2}\)+b₂=(a₁+a₂)\(\sqrt{2}\)+b₁+b₂

mặt khác, ta lại có a₁,a₂,b₁,b₂ là những số hữu tỉ nên (a₁+a₂);(b₁+b₂) cũng là những số hữu tỉ

=>biểu thức x+y cũng được viết dưới dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ.

ta xét tích x.y=(a₁\(\sqrt{2}\)+b₁)(a₂\(\sqrt{2}\)+b₂)=2a₁.a₂+a₁.b₂\(\sqrt{2}\)+b₁.a₂.\(\sqrt{2}\)+b₁.b₂₌(a₁b₂+b₁a₂)\(\sqrt{2}\)+(2a₁a₂+b₁b₂)

vì a₁,a₂,b₁,b₂ là những số hữu tỉ nên các tích a₁a₂;b₁b₂;a₁b₂;a₂b₁ là những số hữu tỉ nên x.y cững có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ

b) xét thương \(\dfrac{x}{y}\)=\(\dfrac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\dfrac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}\)

=\(\dfrac{2a_1a_2-a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)=\(\dfrac{\left(a_2b_1-a_1b_2\right)\sqrt{2}}{2a_2^2-b_2^2}+\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)

vì a_1,b₁,a_2,b₂ là những số hữu tỉ nên a₁b_2;a₁a₂;b₁b₂;a₂b₁ cũng là những số hữu tỉ hay \(\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2};\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)cũng là những số hữu tỉ nên \(\dfrac{x}{y}\) cũng có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a và b là những số hữu tỉ

Answer 2