Question

Cho các số thực a, b, c thay đổi luôn thỏa mãn: a ≥ 1,b ≥ 1,c ≥ 1 và ab + bc + ca = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của biểu thức P = a² + b² + c²

Answer 1

Thấy:\(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca=9\Leftrightarrow a=b=c\Rightarrow a=b=c=\sqrt{3}\)

Answer 2

Tìm maximize: trước tiên điểm rơi của nó sẽ là (1;1;4) và các hoán vị ( dự đoán)

ta sẽ chứng minh \(P\le18\)

từ giả thiết: \(a,b,c\ge1\)nên \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\ge0\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)

tương tự:\(bc+1\ge b+c\);\(ca+1\ge c+a\)

cộng theo vế: \(ab+bc+ca+3\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\le6\)

mà \(P=a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=\left(a+b+c\right)^2-18\le36-18=18\)(ĐPCM)

Dấu = xảy ra khi \(\left(a,b,c\right)=\left(1;1;4\right)\)và các hoán vị