Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Dương Hải Minh

Cho các số dương x,y,z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). CMR :

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)

@Akai Haruma

Phùng Khánh Linh
21 tháng 7 2018 lúc 9:33

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{x\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2}.\sqrt{1-x^2}}\ge\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=2x^3\)

\(\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{y\sqrt{1-y^2}}=\dfrac{y^3}{\sqrt{y^2}.\sqrt{1-y^2}}\ge\dfrac{y^3}{\dfrac{y^2+1-y^2}{2}}=2y^3\)

\(\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{z\sqrt{1-z^2}}=\dfrac{z^3}{\sqrt{z^2}.\sqrt{1-z^2}}\ge\dfrac{z^3}{\dfrac{z^2+1-z^2}{2}}=2z^3\)

Cộng từng vế của các BĐT , ta được :

\(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\dfrac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

Xuân Sáng
21 tháng 7 2018 lúc 9:55

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\Sigma\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\Sigma\dfrac{x^2x}{x\sqrt{1-x^2}}\)

\(=\Sigma\dfrac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}=\Sigma\dfrac{x^3}{\dfrac{x^2+1-x^2}{2}}=\Sigma2x^3=2\)

Nguyễn Quang Định
21 tháng 7 2018 lúc 12:59

Học toán 9 cùng thầy Hồng Trí Quang


Các câu hỏi tương tự
:vvv
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Đức Anh Lê
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
ghdoes
Xem chi tiết
ITACHY
Xem chi tiết