Question

cho các sô dương a,b,c biết a+b+c=1 chứng minh rằng
\(\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}\)+\(\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}\)+\(\sqrt{\dfrac{c}{1-c}}\) > 2

Answer 1

\(\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{1-c}}>2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế ta cũng có:

\(VT\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên ta có ĐPCM