Bài 2: Tính chất cơ bản của phân thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Isolde Moria

Cho các số dương a , b , c thỏa mãn điều kiện : \(ab+bc+ca=3\)

Tìm giá trị lớn nhất của : \(\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{1+b^2+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\)

Lightning Farron
12 tháng 4 2017 lúc 20:56

Very easy !!:GT8:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\left(a^2+b^2+1\right)\left(1+1+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b^2+1}\le\dfrac{c^2+2}{\left(a+b+c\right)^2}\). Tương tự ta cũng có:

\(\dfrac{1}{1+b^2+c^2}\le\dfrac{a^2}{\left(a+b+c\right)^2};\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\le\dfrac{b^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(T=\dfrac{1}{1+a^2+b^2}+\dfrac{1}{1+b^2+c^2}+\dfrac{1}{1+c^2+a^2}\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\)

Lại có \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\ge6+a^2+b^2+c^2\) ( do \(ab+bc+ca=3\) )

\(\Rightarrow T\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{\left(a+b+c\right)^2}\le\dfrac{6+a^2+b^2+c^2}{6+a^2+b^2+c^2}=1\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\)

qwerty
12 tháng 4 2017 lúc 18:57

Có được thay số vào tình không? :))


Các câu hỏi tương tự
Linh Lê
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
tràn thị trúc oanh
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
hà phi hùng
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Hồng NHung
Xem chi tiết