Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
xuan duong

Cho biểu thức

P= \(\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a-1}}\right).\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)\)

a. Rút gọn P

b. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức Q=P+\(\sqrt{a}\)

Nguyễn Lê Phước Thịnh
22 tháng 8 2020 lúc 22:30

Sửa đề: \(P=\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)\)

a) Ta có: \(P=\left(1+\frac{a-\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{a+\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}}\right)\)

\(=\left(1+\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{\sqrt{a}-1}\right)\cdot\left(1-\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt{a}+1}\right)\)

\(=\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)\)

\(=1-a\)

b) ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\a\ne1\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(Q=P+\sqrt{a}\)

\(=1-a+\sqrt{a}\)

\(=-a+\sqrt{a}+1\)

\(=-\left(a-\sqrt{a}-1\right)\)

\(=-\left(a-2\cdot\sqrt{a}\cdot\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{5}{4}\right)\)

\(=-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\)

Ta có: \(\sqrt{a}\ge0\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Rightarrow\sqrt{a}-\frac{1}{2}\ge-\frac{1}{2}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Rightarrow\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\ge\frac{1}{4}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Rightarrow-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2\le-\frac{1}{4}\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

\(\Rightarrow-\left(\sqrt{a}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{5}{4}\le1\forall a\) thỏa mãn ĐKXĐ

Dấu '=' xảy ra khi \(\sqrt{a}-\frac{1}{2}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\)

hay \(a=\frac{1}{4}\)(nhận)

Vậy: Giá trị lớn nhất của biểu thức \(Q=P+\sqrt{a}\) là 1 khi \(a=\frac{1}{4}\)


Các câu hỏi tương tự
Linh Nguyen
Xem chi tiết
Ly Ly
Xem chi tiết
Eng Ther
Xem chi tiết
Lâm Ánh Yên
Xem chi tiết
Quân Đoàn Minh
Xem chi tiết
Min Suga
Xem chi tiết
Nguyen Thi Thu Huyen
Xem chi tiết
Hoài Dung
Xem chi tiết
Ly Ly
Xem chi tiết