Question

Cho biểu thức

a) Tìm tập xác định của biểu thức A và rút gọn biểu thức A

b) Chứng minh A > 0 với mọi x khác 1

c) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất . Tìm GTLN đó

A = \(\left(\frac{x+2}{x\sqrt{x}-1}+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{1}{1-\sqrt{x}}\right):\frac{\sqrt{x}-1}{2}\)

Answer 1

ĐKXĐ: \(x\ge0;x\ne1\)

\(A=\left(\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}-\frac{x+\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right).\frac{2}{\sqrt{x}-1}\)

\(=\left(\frac{x+2+x-\sqrt{x}-x-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{x}-1}\right)\)

\(=\frac{\left(x-2\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)}.\frac{2}{\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{2\left(\sqrt{x}-1\right)^2}{\left(\sqrt{x}-1\right)^2\left(x+\sqrt{x}+1\right)}=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}\)

Ta có \(x\ge0\Rightarrow x+\sqrt{x}\ge0\Rightarrow x+\sqrt{x}+1>0\)

\(\Rightarrow A=\frac{2}{x+\sqrt{x}+1}>0\)

Mặt khác cũng do \(x+\sqrt{x}+1\ge1\Rightarrow P\le\frac{2}{1}=2\)

\(\Rightarrow A_{max}=2\) khi \(x=0\)