§1. Bất đẳng thức

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Cuộc Sống Thầm Lặng

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn : \(\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}=2016\) .Tìm Min của \(P=\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{x+y}\)

Neet
24 tháng 9 2017 lúc 21:48

Áp dụng BĐT bunyakovsky:

\(\sum\dfrac{x^2}{y+z}\ge\sum\dfrac{x^2}{\sqrt{2\left(y^2+z^2\right)}}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+y^2}=a\\\sqrt{y^2+z^2}=b\\\sqrt{z^2+x^2}=c\end{matrix}\right.\) thì có a+b+c=2016 và cần tìm Min của \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}\) (\(x^2=\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2}\))

Ta có: \(\sum\dfrac{a^2+c^2-b^2}{2\sqrt{2}b}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}.\left(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}-\sum b\right)\)

Áp dụng BĐT cauchy-schwarz:

\(\sum_{sym}\dfrac{a^2}{b}=\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{a}+\dfrac{a^2}{c}+\dfrac{b^2}{c}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=2\left(a+b+c\right)\)

DO đó \(VT\ge\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(2\sum a-\sum a\right)=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}\left(a+b+c\right)=\dfrac{2016}{2\sqrt{2}}=\dfrac{1008}{\sqrt{2}}\)

Dấu = xảy ra khi a=b=c hay \(x=y=z=\dfrac{672}{\sqrt{2}}\)


Các câu hỏi tương tự
poppy Trang
Xem chi tiết
dbrby
Xem chi tiết
Dương Nhật Hoàng
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
khoimzx
Xem chi tiết
Nguyen Kim Chi
Xem chi tiết
kudo shinichi
Xem chi tiết
Anhh Thưư
Xem chi tiết
 ๖ۣۜDevil
Xem chi tiết