Question

Cho A=x⁴-2x³-x²+ax+b

Xác định các phần hệ số a, b để đa thức A là bình phương của 1 đa thức.

Answer 1

Đây chỉ là cách của mình thôi.

Với \(x\in R\), ta có:

A là bình phương của 1 đa thức B, mà A là đa thức bậc 4 nên B là đa thức bậc 2.

Ta đặt \(A=x^4-2x^3-x^2+ax+b=\left(cx^2+dx+e\right)^2\)

Ta có: \(\left(cx^2+dx+e\right)^2=c^2x^4+d^2x^2+e^2+2cdx^3+2cex^2+2dex\)

\(=c^2x^4+2cdx^3+\left(d^2+2ce\right)x^2+2dex+e^2\)

Suy ra\(x^4-2x^3-x^2+ax+b=c^2x^4+2cdx^3+\left(d^2+2ce\right)x^2+2dex+e^2\left(1\right)\)

Vì (1) luôn đúng nên phải thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}c^2=1\\2cd=-2\\d^2+2ce=-1\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}a=2de\\b=e^2\end{matrix}\right.\)Giải HPT thì ta được \(c=1;d=-1;e=-1\)

hoặc \(c=-1;d=1;e=1\)

Cả hai đều cho ra kết quả là \(a=2;b=1\)

Vậy \(a=2;b=1\)

Nếu sai ở đâu thì ns vs mình