Question

Cho \(A=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60}}}}\)

Chứng minh rằng: \(3< A< 4\) .Tìm \(\left[A\right]\)

Answer 1

Lời giải:

Dễ thấy: \(A>\sqrt[3]{60}>\sqrt[3]{27}=3\)

Để cm \(A< 4\) ta sử dụng quy nạp:

Ta thấy \(A_1=\sqrt[3]{60}< \sqrt[3]{64}=4\)

\(A_2=\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60}}< \sqrt[3]{60+\sqrt[3]{64}}=4\)

.....

Giả sử nhận định đúng đến \(n=k\), tức là:

\(A_k=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+....+\sqrt[3]{60}}}}_{\text{k số 60}}<4\)

Ta thấy \(A_{k+1}=\underbrace{\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+\sqrt[3]{60+...+\sqrt[3]{60}}}}}_{\text{k+1 số 60}}=\sqrt[3]{60+A_k}\)

\(<\sqrt[3]{60+4}\Leftrightarrow A_{k+1}< 4\), tức là nhận định đúng với cả $n=k+1$

Do đó \(A< 4\)

Vậy $3< A< 4$. Theo định nghĩa phần nguyên suy ra \([A]=3\)