Bài 1: Căn bậc hai

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Trần Minh Lộc

cho a+c+b=3 và a,b,c>0.CMR:

(a+1/b^2+1)+(b+1/c^2+1)+(c+1/a^2+1)>=3

Akai Haruma
27 tháng 5 2019 lúc 21:44

Lời giải:

Đặt \(P=\frac{a+1}{b^2+1}+\frac{b+1}{c^2+1}+\frac{c+1}{a^2+1}\)

\(P=a+1-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+b+1-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+c+1-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)

\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{ab+bc+ac}{2}\)

Mà: \(ab+bc+ac\leq \frac{(a+b+c)^2}{3}\Rightarrow P\geq \frac{a+b+c+6}{2}-\frac{(a+b+c)^2}{6}=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$


Các câu hỏi tương tự
Phan PT
Xem chi tiết
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
Lê Thị Thu Huyền
Xem chi tiết
Hán Hùng Quân
Xem chi tiết
THÁNH TOÁN
Xem chi tiết
Thúy
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Nguyễn Quỳnh
Xem chi tiết