Question

cho a+b+c=1; a²+b²+c²=1; a³+b³+c³=1. Tính giá trị của biểu thức: P=a¹⁹⁹⁸+b¹⁹⁹⁹+c²⁰⁰⁰

Answer 1

Theo đề bài ta có :

\(a+b+c=a^2+b^2+c^2\) ( * )

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(\Leftrightarrow2\left(ab+bc+ca\right)=0\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca=0\left(.\right)\)

Tiếp tục ta có :

\(a+b+c=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^3=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+\left[b^3+c^3+3bc\left(b+c\right)+3a\left(b+c\right)\left(a+b+c\right)\right]=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+\left(b+c\right)\left(3bc+3a^2+3ab+3ac\right)=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)=a^3+b^3+c^3\)

\(\Leftrightarrow3\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)\left(a+b\right)\left(a+c\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-c\\a=-b\\c=-a\end{matrix}\right.\)

Thay a = -b vào (1) ta được a = b = 0.

Thay vào ( *) ta được c = 1

Tương tự ta thấy trong ba số có 1 số là 1 và hai số còn lại có giá trị là 0.

\(\Leftrightarrow P=1.\)