Ôn tập cuối năm phần số học

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Fan Khởi My ( Zoi )

Cho \(a,b,c>0\)\(a+b+c=3\). CMR : \(P=\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1\)

giúp nha mn :==|_T-T

Võ Đông Anh Tuấn
12 tháng 5 2017 lúc 14:53

\(P=\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}\ge1\)

Áp dụng BĐT Cô-si vào 3 số dương ta có :

\(\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\dfrac{b}{3}+\dfrac{2c+a}{9}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}.\dfrac{b}{3}.\dfrac{2c+a}{9}}=a\) ( 1 )

Tương tự ta có :

\(\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c}{3}+\dfrac{2a+b}{9}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}.\dfrac{c}{3}.\dfrac{2a+b}{9}}=b\) ( 2 )

\(\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\dfrac{a}{3}+\dfrac{2b+c}{9}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}.\dfrac{a}{3}.\dfrac{2b+c}{9}}=c\) ( 3 )

Cộng từng vế của ( 1 ) ( 2 ) và ( 3 ) ta có :

\(\dfrac{a^3}{c\left(2c+a\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\dfrac{2}{3}\left(a+b+c\right)\ge a+b+c\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a^3}{b\left(2c+a\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(2a+b\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(2b+c\right)}+\dfrac{2}{3}.3\ge3\)

\(\Leftrightarrow P\ge1\)

\(\LeftrightarrowĐpcm.\)

Dấu " = " xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Chúc bạn học tốt

Nguyễn Huy Thắng
12 tháng 5 2017 lúc 22:38

có a3 kìa sao ko thay vào thành aa+b+c r` giải thử nhỉ :D

Huy Hoàng Nguyễn
13 tháng 5 2017 lúc 11:06

Có: a2+b2+c2[tex]\geq[/tex]\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

=>a2+b2+c2[tex]\geq[/tex]3;abc[tex]\leq[/tex]1(cô si 3 số)

[tex]P=\frac{a^{4}}{ab(2c+a)}+\frac{b^{4}}{bc(2a+b)}+\frac{c^{4}}{ac(2b+c)}[/tex]

=>P[tex]\geq[/tex][tex]\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{6abc+abc(a+b+c)}[/tex]

P[tex]\geq[/tex][tex]\frac{3^{2}}{9abc}[/tex]

=[tex]\frac{1}{abc}[/tex]=1


Các câu hỏi tương tự
Minh Hoàng Nguyễn
Xem chi tiết
Eren
Xem chi tiết
Phan Đình Trường
Xem chi tiết
Hiệp Đỗ Phú
Xem chi tiết
An Trịnh Hữu
Xem chi tiết
Nguyễn Thiện Minh
Xem chi tiết
Quách Trần Gia Lạc
Xem chi tiết
noname
Xem chi tiết
My Phạm
Xem chi tiết