Question

cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR a+2b+c≥4(1-a)(1-b)(1-c)

Answer 1

Vì a,b,c > 0 và a+b+c=1

=> 0 < a,b,c < 1

=> 1-a, 1-b, 1-c > 0

Áp dụng bất đẳng thức cô-si cho các số dương ta có:

\(VP=4\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le4\cdot\dfrac{\left[\left(1-a\right)+\left(1-c\right)\right]^2}{4}\cdot\left(1-b\right)\)

\(=\left(2-a-c\right)^2\left(1-b\right)\)

\(=\left[2\left(a+b+c\right)-a-c\right]^2\left(1-b\right)\)

\(=\left(a+2b+c\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)^2\left(1-b\right)=\left(b+1\right)\left(1-b^2\right)< b+1=a+2b+c=VT\)

Vậy VT > VP. Dấu "=" không xảy ra