a,Xét hai tam giác vuông ABE và HBE có :
BE là cạnh chung
\(\widehat{ABE} = \widehat{HBE}\) ( do BE là tia phân giác \(\widehat{B}\) )
=> Δ ABE = Δ HBE ( cạnh huyền - góc nhọn )
b, Gọi I là điểm cắt giữa hai đoạn thẳng BE và AH .
* Xét Δ AIB và Δ HIB có :
BI là cạnh chung
AB = AH ( do tam giác ABE = tam giác HBE )
\(\widehat{ABI} = \widehat{HBI}\) ( hay \(\widehat{ABE} = \widehat{HBE}\) theo cmt )
=> Δ AIB = Δ HIB ( c-g-c )
=> AI = HI ( hai cạnh tương ứng )
=> I là trung điểm AH
* Do Δ AIB = Δ HIB ( cmt )
=> \(\widehat{AIB} =\widehat{HIB}\) ( hai góc tương ứng )
mà \(\widehat{AIB} + \widehat{HIB} = 180^0\) ( hai góc kề bù )
=> \(\widehat{AIB} = \widehat{HIB} = 180^0 : 2 =90^0\)
=> BI ⊥ AH
Do I là trung điểm của AH ( cmt )
BI ⊥ AH ( cmt )
mà E và I cùng nằm trên đoạn thẳng BE
=> BE ⊥ AH tại trung điểm của AH
=> BE là đường trung trực của AH
c, Xét hai tam giác vuông AEK và HEC có :
AE = EH ( do tam giác ABE = tam giác BHE )
\(\widehat{AEK} = \widehat{HEC} \) ( hai góc đối đỉnh )
=> Δ AEK = Δ HEC ( cạnh vuông - góc nhọn kề )
=> EK = EC (hai cạnh tg ứng )
d,Do EH là đường vuông góc hạ từ E xuống BC
EC là đường xiên hạ từ E xuống BC
=> EH < EC ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên )
mà EH = AE ( cmt )
=> AE < EC
e, Ta có : BK = BA + AK
BC = BH + HC
mà BA = BH ( do tam giác ABE = tam giác HBE )
AK = HC ( do tam giác AEK = tam giác HEC)
=> BK = BC
=> tam giác BKC cân tại B
f, Gọi M là giao điểm giữa đoạn BE và KC
Xét tam giác BKE và tam giác BCE có :
BH là cạnh chung
BK = BC ( cmt )
\(\widehat{K} = \widehat{C} \) ( do tam giác BKC cân )
=> Δ BKE = Δ BCE ( c-g-c )
=> \(\widehat{BMK} = \widehat{BMC} \) ( hai góc tg ứng )
mà \(\widehat{BMK} + \widehat{BMC} = 180^0 \) ( hai góc kề bù )
=> \(\widehat{BMK} = \widehat{BMC} = 180^0 : 2 = 90^0\)
=> BM ⊥ KC
mà điểm E nằm trên đường thẳng BM
=> BE ⊥ KC
a) Xét tam giác ABE và tam giác HBE, có:
Â= Ĥ= 90°
BE cạnh chung
Góc B1= góc C1 (gt)
Suy ra tam giác ABE= tam giác BBC ( cạnh huyền góc nhọn)
b) Vì tam giác ABE= tam giác HBE
Suy ra BA=BH, EA=EH
Suy ra E,B cùng thuộc trung trực của AH nên đường thẳng EB là đường trung trực của AH ( điều cần phải chứng minh)
c) Vì AE=EH ( cmt)
Ê2= Ê1 ( Đối đỉnh)
Góc KAE= CHE=90°
Suy ra EK=EC ( đpcm)
