Question

Cho ∆ABC vuông tại A (AB<AC), phân giác BD (D∈AC) cắt đường cao AH tại K (H∈BC)

a) Chứng minh ∆BHK~∆BAD và ∆BAK~∆BCD

b) Chứng minh HK.DC=AK²

c) Gọi M là trung điểm của KD. Kẻ tia Bx // AM, tia Bx cắt AH tại N. C/m HK.AN=AK.HN

Answer 1

a, Xét \(\Delta BHK\) và \(\Delta BAD\) có :

\(\widehat{B_2}=\widehat{B_1}\left(gt\right)\)

\(\widehat{BHK}=\widehat{BAD}=90^o\)

\(\Rightarrow\) \(\Delta BHK\sim\Delta BAD\left(g.g\right)\)

Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta BCD\) có :

\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(gt\right)\)

\(\widehat{BAK}=\widehat{BCD}\) ( cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

\(\Rightarrow\) \(\Delta BAK\sim\Delta BCD\left(g.g\right)\)

b, Ta có : \(\Delta BHK\sim\Delta BAD\) ( câu a )

\(\Rightarrow\) \(\frac{HK}{AD}=\frac{HB}{BA}\)

Mà BK là phân giác \(\widehat{ABH}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{HB}{BA}=\frac{HK}{AK}\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{HK}{AD}=\frac{HK}{AK}\) \(\Rightarrow\) \(AD=AK\)

Lại có : \(\Delta BAK\sim\Delta BCD\) ( câu a )

\(\Rightarrow\) \(\frac{AK}{CD}=\frac{BK}{BD}\)

Mà \(\frac{BK}{BD}=\frac{HK}{AD}\left(\Delta BHK\sim\Delta BAD\right)\)

\(\Rightarrow\) \(\frac{AK}{CD}=\frac{HK}{AD}\)

\(\Rightarrow\) \(AK.AD=HK.DC\) Mặt khác : AD = AK
\(\Rightarrow\) \(AK^2=HK.DC\)