Violympic toán 8

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1.CMR:\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{3}{4}\)

Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 5 2020 lúc 21:41

Ko phải số thực dương thì hơi mất thời gian

Ta có: \(\left|x\right|+\left|y\right|\ge x+y\Rightarrow\left|x\right|+\left|y\right|+\left|z\right|\ge x+y+z\)

\(\Rightarrow\frac{bc}{a^2+1}+\frac{ca}{b^2+1}+\frac{ab}{c^2+1}\le\frac{\left|bc\right|}{a^2+1}+\frac{\left|ca\right|}{b^2+1}+\frac{\left|ab\right|}{c^2+1}\)

Đặt \(\left(\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x;y;z\ge0\)

\(\Rightarrow VT\le\frac{yz}{x^2+1}+\frac{zx}{y^2+1}+\frac{xy}{z^2+1}=\frac{yz}{x^2+y^2+x^2+z^2}+\frac{zx}{x^2+y^2+y^2+z^2}+\frac{xy}{x^2+z^2+y^2+z^2}\)

\(VT\le\frac{yz}{2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(x^2+z^2\right)}}+\frac{zx}{2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(y^2+z^2\right)}}+\frac{xy}{2\sqrt{\left(x^2+z^2\right)\left(y^2+z^2\right)}}\)

\(VT\le\frac{1}{4}\left(\frac{y^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{x^2+z^2}+\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2}{x^2+z^2}+\frac{y^2}{y^2+z^2}\right)=\frac{3}{4}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(a=b=c=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)


Các câu hỏi tương tự
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Online Math
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
phạm gia bảo
Xem chi tiết
Vua Phá Lưới
Xem chi tiết
Min
Xem chi tiết