Question

cho a;b;c là các số thực khôn âm có a+b+c=1.c/m rằng:

2(a^3+b^3+c^3)>hoặc = a^2+b^2+c^2

Answer 1

Đề bài của bạn bị nhầm. Nếu đúng như dấu bằng xảy ra thì phải là CMR

\(3(a^3+b^3+c^3)\geq a^2+b^2+c^2\)

Lời giải:

Bổ đề: Với $a,b>0$ thì \(a^3+b^3\geq ab(a+b)\).

BĐT này đúng vì tương đương với \((a-b)^2(a+b)\geq0\)

Do đó, thực hiện tương tự với bộ \((b^3,c^3),(c^3,a^3)\) ta có:

\(2(a^3+b^3+c^3)\geq ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(1)\)

Ta có:

\((a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)(2)\)

Từ \((1),(2)\Rightarrow (a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\leq a^3+b^3+c^3+2(a^3+b^3+c^3)=3(a^3+b^3+c^3)\)

Vì $a+b+c=1$ nên điều trên tương đương với \(3(a^3+b^3+c^3)\geq a^2+b^2+c^2\) (đpcm)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$