Question

Cho △ABC cân tại A ( Â lớn hơn 90⁰) trên tia đối của tia AB và Ac lần lượt lấy các điểm D,E sao cho AD=AE ∠ AB. Gọi O là giao điểm của hai đường thẳng BE và CD.CMR:

a. △AEB=△ADC

b.OE=Od

c. 3 điểm O,A,H thẳng hàng ( H là chân đường vuông góc kẻ từ O tới BC)

Answer 1

a) Xét △AEB và △ADC có:

AE=AD (gt)

\(\widehat{EAB}=\widehat{DAC}\)(đối đỉnh)

AB=AC (gt)

⇒ △AEB và △ADC (cgc)

b) Từ △AEB và △ADC (câu a)

⇒\(\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\) hay \(\widehat{DBO}=\widehat{ECO}\) (2 góc tương ứng)

Cũng từ △AEB và △ADC, ta có:

\(\widehat{AEB}=\widehat{ADC}\)(2 góc tương ứng)

\(\Rightarrow180^0-\widehat{AEB}=180^0-\widehat{ADC}\Rightarrow\widehat{OEC}=\widehat{ODB}\)

Ta lại có:

AB=AC; AD=AE

⇒AB+AD=AC+AE ⇒BD=CE

Xét △OEC và △ODB có:

\(\widehat{OEC}=\widehat{ODB}\)(cmt)

EC=DB (cmt)

\(\widehat{ECO}=\widehat{DBO}\left(cmt\right)\)

⇒△OEC = △ODB (gcg)

⇒OE=OD (2 cạnh tương ứng)

c) Ta có: OH ⊥ BC (1)

Ta lại có:△AEB và △ADC (câu a)

⇒EB=DC mà OE=OD ⇒EB+OE=DC+OD⇒OB=OC

Xét △OHB vuông tại H và △OHC vuông tại H có:

OB=OC (cmt)

OH chung

⇒△OHB = △OHC (cạnh huyền- cạnh góc vuông)

⇒HB=HC

Xét △AHB và △AHC có:

AB=AC (gt)

\(\widehat{ABH}=\widehat{ACH}\left(gt\right)\)

BH=CH (cmt)

⇒△AHB = △AHC (cgc)

⇒\(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)⇒ AH ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) ⇒O, A, H thẳng hàng (đpcm)