Question

Cho ∆ABC, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau tại K. Gọi M là trung điểm BC

a) CM : ∆ADB ~ ∆AEC; ∆AED ~ ∆ACB

b) CM : HE.HC = HD.HB

c) CM : H, M, K thẳng hàng

Answer 1

(hình tự túc)

a) Xét tg ADB và tg AEC: ADB^ = AEC^ = 90o; A^ chung

=> tg ADB ~ tg AEC (g.g)

Xét tg AED và tg ACB: A^ chung; AED^ = ACB^ (cùng phụ DEC^)

=> tg AED ~ tg ACB (g.g) (1)

b) Ta có: ADE^ + EDH^ = ABC^ + CBK^ (= 90o)

Mà (1) => ADE^ = ABC^ => EDH^ = CBK^

hay EDH^ = HCB^ (so le trong) vì EC // BK (_|_ AB)

Xét tg EDH và tg BCH: EHD^ = BHC^ (đđ) ; EDH^ = BCH^ (cmt)

=> tg EDH ~ tg EHD (g.g)

c) Tứ giác BHCK: HC//BK (cmt); HB//CK (_|_ AC)

=> tg BHCK là hbh . Mà M là trung điểm BC => M cũng là trung điểm HK hay H,M,K thẳng hàng.