Lời giải:
Ta có:
\(P=a^2b^2(a^2+b^2)\Rightarrow 2P=ab.2ab(a^2+b^2)\)
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu:
\(2ab(a^2+b^2)\leq \left(\frac{2ab+a^2+b^2}{2}\right)^2=\frac{(a+b)^4}{4}=64(1)\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(4=a+b\geq 2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\leq 4(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow 2P=ab.2ab(a^2+b^2)\leq 4.64=256\)
\(\Rightarrow P\leq 128\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
Cho a, b, c là các số thực khác 0 thoả mãn:\(\left\{{}\begin{matrix}a^2+a=b^2\\b^2+b=c^2\\c^2+c=a^2\end{matrix}\right.\). Chứng minh rằng: \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)=1\)
Cho a, b là các số thực thoả mãn điều kiện:
\(\left(a+\sqrt{1+b^2}\right)\left(b+\sqrt{1+a^2}\right)=1\)
Tính giá trị của biểu thức: \(S=\left(a^3+b^3\right)\left(a^7b-5a^2b^4+21ab^5+73\right)+320\)
cho a,b,c > 0 thỏa \(\left(a+2b\right)\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=4\) và \(3a\ge c\)
Chứng minh rằng : \(\dfrac{a^2+2b^2}{ac}\ge1\)
\(\text{Cho }a+b+c=0\text{ thỏa mãn }a^2=\left(2a+2b+2\right)\left(a+c-1\right)\)
Cho a,b,c >0 ; a+b+c = 6abc . Chứng minh rằng : \(\frac{bc}{a^3\left(c+2b\right)}+\frac{ac}{b^3\left(a+2c\right)}+\frac{ab}{c^3\left(b+2a\right)}\)≥2
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(1+a\right)\left(1+b\left(1+c\right)\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\) = 2. Chứng minh: \(\frac{\sqrt{a}}{a+1}+\frac{\sqrt{b}}{b+1}+\frac{\sqrt{c}}{c+1}=\frac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=1\). Chứng minh: \(\dfrac{ab}{a^2+b^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge\dfrac{15}{4}\)
