Lời giải:
\(A=8n+\underbrace{11....111}_{n}=8n+\frac{\underbrace{99....999}_{n}}{9}=8n+\frac{10^n-1}{9}\)
Quy nạp
Ta thấy:
\(n=1\Rightarrow A_1=9\vdots 9\)
\(n=2\Rightarrow A_2=27\vdots 9\)
......
Giả sử điều trên đúng với \(n=k\), tức là \(A_k=8k+\frac{10^k-1}{9}\vdots 9\), giờ ta cần chứng minh bài toán đúng với \(n=k+1\)
Thật vậy:\(A_{k+1}=8(k+1)+\frac{10^{k+1}-1}{9}=8k+8+\frac{10(10^k-1)+9}{9}\)
\(A_{k+1}=8k+\frac{10^k-1}{9}+(10^k-1)+9\)
Có: \(8k+\frac{10^k-1}{9}=A_{k}\vdots 9\)
\(10^k-1=10^k-1^k=(10-1)(10^{k-1}+...+1)\vdots 9\)
\(9\vdots 9\)
\(\Rightarrow A_{k+1}\vdots 9\)
Vậy kết quả quy nạp đúng. ta có đpcm.
