Question

cho a, b,c duong va a+b=c=1

chumg minh \(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\le\sqrt{6}\)

Answer 1

Đề phải là a+b+c=1 chứ, bạn gõ nhầm 1 dấu + thành = thì phải

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left(1.\sqrt{a+b}+1.\sqrt{b+c}+1.\sqrt{a+c}\right)^2\le\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(\sqrt{a+b}^2+\sqrt{b+c}^2+\sqrt{a+c}^2\right)=3.2\left(a+b+c\right)=6\)

\(\Rightarrow\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{a+c}\le\sqrt{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=1\\\sqrt{a+b}=\sqrt{b+c}=\sqrt{a+c}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow a=b=c=\dfrac{1}{3}\)

Answer 2

chac do de sai do ban