Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=5.

Tìm GTNN của biểu thức: \(Q=\frac{a}{ab+5c}+\frac{b}{bc+5a}+\frac{c}{ca+5b}\)

Answer 1

Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:

$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$

$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo BĐT AM-GM:

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$

Và:

$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$

Do đó:

$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$

Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$

Answer 2

Lời giải:
Do $a+b+c=5$ nên:

$Q=\frac{a}{ab+c(a+b+c)}+\frac{b}{bc+a(a+b+c)}+\frac{c}{ca+b(a+b+c)}=\frac{a}{(c+b)(c+a)}+\frac{b}{(a+b)(a+c)}+\frac{c}{(b+c)(b+a)}$

$=\frac{a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

Theo BĐT AM-GM:

$(a+b)(b+c)(c+a)\leq \left(\frac{a+b+b+c+c+a}{3}\right)^3=\left(\frac{2(a+b+c)}{3}\right)^3=\frac{1000}{27}$

Và:

$a(a+b)+b(b+c)+c(c+a)=(a+b+c)^2-(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2-\frac{(a+b+c)^2}{3}=\frac{50}{3}$

Do đó:

$Q\geq \frac{\frac{50}{3}}{\frac{1000}{27}}=\frac{9}{20}$

Vậy $Q_{\min}=\frac{9}{20}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{5}{3}$