Question

Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1.

Chứng minh rằng \(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}\) là một số hữu tỉ.

Answer 1

Với ab + bc + ca = 1

Ta có:

\(a^2+1=a^2+ab+ac+bc=\left(a^2+ab\right)+\left(ac+bc\right)\)

\(=a\left(a+b\right)+c\left(a+b\right)=\left(a+c\right)\left(a+b\right)\)

Tương tự ta có:

\(b^2+1=\left(b+a\right)\left(b+c\right)\)

\(c^2+1=\left(c+a\right)\left(c+b\right)\)

Do đó:

\(\sqrt{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}=\sqrt{\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(b+a\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}\)

\(=\sqrt{\left(a+b\right)^2\left(a+c\right)^2\left(b+c\right)^2=\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|}\)

Do a, b ,c là số hữu tỉ

=> \(\left|\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\right|\) là số hữu tỉ.

=> đpcm

Answer 2

Thay 1 = ab + bc + ca, ta được:

a² + 1 = (a + b)(a + c);

b² + 1 = (b + c)(b + a);

c² + 1 = (c + a)(c + b)

Do đó B = (a² + 1)(b² + 1)(c² + 1) = [(a + b)(b + c)(c + a)]²

=> \(\sqrt{B}=\left|\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right|\)

Đó là một số hữu tỉ vì a, b, c là các số hữu tỉ