Question

Cho a, b, c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh rằng

a² + b² + c² < 2(1 - abc)

Answer 1

Trong 1 tam giác thì ta có:
a < b + c

--> a + a < a + b + c
--> 2a < 2
--> a < 1
Tương tự ta có : b < 1, c < 1

Suy ra: (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 0
⇔
(1 – b – a + ab)(1 – c) > 0
⇔
1 – c – b + bc – a + ac + ab – abc > 0
⇔
1 – (a + b + c) + ab + bc + ca > abc

Nên abc < -1 + ab + bc + ca
⇔
2abc < -2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔
a² + b² + c² + 2abc < a² + b² + c² – 2 + 2ab + 2bc + 2ca
⇔ a² + b² + c² + 2abc < (a + b + c)² - 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2² - 2 , do a + b = c = 2
⇔ a² + b² + c² + 2abc < 2
=) ĐPCM