Question

Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng:

2(ab + bc + ca) > a² + b² + c².

Answer 1

Áp dụng BĐT tam giác ta có:

\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)

Thiết lập 2 BĐT tương tự có:

\(b^2< ab+bc;c^2< ac+bc\)

Cộng theo vế \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

Answer 2

vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên:

\(a-b< c\\ a-c< b\\ b-c< a\)\(\Rightarrow\)\(a^2-2ab+b^2< c^2\Rightarrow a^2+b^2-c^2< 2ab\\ a^2-2ac+c^2< b^2\Rightarrow a^2+c^2-b^2< 2ac\\ b^2-2bc+c^2< a^2\Rightarrow b^2+c^2-a^2< 2bc\)

cộng vê theo vế các BĐT \(\left[{}\begin{matrix}a^2+b^2-c^2< 2ab\\a^2+c^2-b^2< 2ac\\b^2+c^2-a^2< 2bc\end{matrix}\right.\) ta được:

\(a^2+b^2-c^2+a^2+c^2-b^2+b^2+c^2-a^2< 2ab+2ac+2bc\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ac\right)\) (đpcm)